60的因数有哪些数字[5次方程中的对称与可解资料]

　　有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12个。60因数的算法为：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10。因数是指能被这个数整除的数。倍数是指能将这个数整除的数，因为60能被这些因数整除，所以60也叫做这些因数的倍数。

　　群论在方程中的作用，就是它可以描述方程中的对称性。

　　从上面的式子就可以获得根与系数的关系：

　　以上是3次方程的韦达定理。

　　高次方程，实际上也一样。

　　既然要求根，那么先假设根已经求出来了，然后展开1次因式的乘积，就可以获得根与系数的关系。

　　1，韦达定理，关于根是对称的。

　　n次多项式方程里的第n-1次项的系数，是所有根的和的相反数。

　　3次方程里，这一项就是2次项。

　　2次方程里，这一项就是1次项。

　　中间的第k项，都是从n个里任选k个根的乘积然后求和，前面的符号是(-1)^k.

　　对于3次方程来说，中间只有1项：

　　最高次项不算，从n-1次项开始计数，1次项在3次方程里是第2项，所以它是任选2个根的乘积然后求和。

　　从3个里选2个，与从3个里选1个是一样的，可能的选法都是3种。

　　韦达定理的所有式子，在交换根的次序的情况下，都是不变的！

　　3次方程的韦达定理

　　也就是说，韦达定理对于根来说是对称的。

　　2，方程是根的多元对称函数，

　　如果把方程不看做未知数的函数，而是看做根的函数，那么它是根的多元对称函数。

　　任意改变F(x1, x2, x3)中的x1, x2, x3的次序，结果都是不变的，因为它除了乘积就是加法。

　　如果有一个群G作用到根的下标上，那么F(x1, x2, x3)在G的作用下是不变的：

　　群G的作用就是改变下标的次序，群G里的每个元素g都是一种改变方式。

　　当方程是3次的时候，这种改变只有3! = 6种，也就是群G的元素个数只有6个！

　　当方程是5次的时候，这种改变有5! = 120种。

　　群G的元素个数叫做它的阶，一般用绝对值的符号表示。

　　（1,2,3的排列组合，叫S3对称群）

　　像韦达定理这样的函数叫做对称函数。

　　如果忽略掉符号(-1)^k，那么对称函数都是这样的：

　　右边是从n个里选k个不同的下标的所有可能乘积的求和。

　　如果一个高次方程能够求根，那么它的根一定是这样的。

　　所以，方程的系数，实际上是通过根的对称变化合成出来的。

　　求根公式，就是把这种对称合成再返回去。

　　要想通过求根公式把它返回去，那么合成系数的这个对称群，必须是可解群。

　　这是伽罗瓦定理的要求。

　　3，域的扩张与根的合成，

　　它在有理数Q上是多少维的向量空间？

　　多项式里的分裂域F（即包含方程的所有根的域）里的元素X，用有理数表示就是：

　　如果不把15^0.5添加到Q里，有理数是没法合成出15^0.5的：

　　它是两个根 3^0.5 和 5^0.5，根据韦达定理的对称性合成出来的。

　　合成的方式，就是在生成1次项的系数时，选择所有可能的2个根的乘积再求和，15^0.5是其中之一。

　　伽罗瓦在1831年证明了，分裂域的子域与伽罗瓦群的子群是一一对应的：方程的可解对应着伽罗瓦群的可解（可以看我之前的文章）。

　　伽罗瓦群与Sn对称群是同构的，它们要么都可解，要么都不可解。

　　4，群的可解，

　　群G的可解，指的是有一条从G直到单位元e的、换位子群的导出链。

　　当有这么1条链的时候，群G对方程的根的作用，还可以变换回去。

　　怎么选择的根合成的系数，再怎么把系数拆回到根，也就是根式求解。

　　换位子群这个概念，是从乘法的交换律引出来的。

　　群，是集合与集合上的“广义乘法”，而广义乘法不一定像数字乘法那样符合交换律。

　　但是，群的单位元是符合交换律的：ae = ea，e是单位元。

　　所以，只要有一条换位子群的链能够到达单位元，群里的广义乘法就可以返回去。

　　这个“广义乘法”，在方程的求根问题上，就是根在合成系数时的排列组合。

　　每一步，都相当于Sn对称群里的一个“广义乘法元素”。

　　如果一个群的子集也是个群，就叫它的子群：因为群首先是个集合，其次是在集合上定义了乘法，最后是乘法要符合交换律、单位元、逆元、封闭。

　　如果G是一个群，K是它的正规子群，那么G可解的充要条件是：K可解，同时G/K可解。

　　（G/K，指的是属于G、但不属于K的元素组成的集合，叫商群）

　　正规子群的性质就是，aK = Ka，a属于G：也就是元素与它的乘法是符合交换律的。

　　G的换位子群G，被包含在G的一个正规子群K里，并且G/G是交换的。

　　5，S5对称群不可解，

　　元素个数有限的群，叫有限群。

　　拉格朗日证明了：有限群的阶（元素个数）能够被它的子群的阶整除。

　　S5对称群有120个元素，它的子群A5交错群有60个元素，是它的一半。

　　根据可解的充要条件，S5可解的前提是A5可解。

　　(i j)表示把标号i变成j，把j变成i，它的作用是把标号i和j对换，例如：

　　2个的就是对换，多个的就是循环。

　　对换的就是交换群，循环的就是循环群，它们都是可解的。

　　（有兴趣的可以拿着1, 2, 3, 4, 5的排列组合去验证下，是不是可以这么拆开）

　　根据拉格朗日定理，A5的阶是60，它的子群K必须是单位元、2阶元、3阶元、5阶元的组合，而且K的阶（即元素个数）必须整除60。

　　也就是说，子群K的元素个数必须是60的因数，但不能是1和60！

　　如果是1，说明K是单位元e。

　　如果是60，说明K就是父群A5。

　　如果一个群的正规子群只有单位元e和它自身，那么它是不可解的，这叫单群：就跟素数17的因数只有1和17一样，它没法分解质因数。

　　1）a必须是1或3，因为只有15是奇数，其他的都是偶数。

　　2）超过16的因数只有20、30、60：

　　所以，A5不是可解群。

　　所以，S5不是可解群。

　　所以，一般5次方程没有根式解。60的因数有哪些数字[5次方程中的对称与可解资料]